Question

If $\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)+\mathrm{f}(\mathrm{x}-1)=\sqrt{3}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ for all $x\in R$, then the period of$f\left(x\right)$ is

• A. 3
• B. 6
• C. 12
• D. 9

Answer 1

The correct option is C

12

Step 1: Determination of the given equation

$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x}+1)+\mathrm{f}(\mathrm{x}-1)=\sqrt{3}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

If $f\left(x\right)$ is periodic with period p. then,

$f(x+p)=f\left(x\right)$

$\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}+1)=\sqrt{3}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}(\mathrm{x}-1)$

Step 2: Substitute different values for $\mathit{x}$ in the above equation

Put, the value $x=x+1$,

$\begin{array}{rcl}\mathrm{f}(\mathrm{x}+1+1)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+1-1)& =& \sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)\\ \mathrm{f}(\mathrm{x}+2)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =& \sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)\\ \mathrm{f}(\mathrm{x}+2)& =& \sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)...\left(1\right)\end{array}$

Put, the value $x=x+2$,

$\begin{array}{rcl}& \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+2+1)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+2-1)=\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+3)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)=\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+3)=\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)\end{array}$

Multiplying by $\sqrt{3},$

$\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+3)=3\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)...\left(2\right)$

Put, the value $x=x+3$,

$\begin{array}{rcl}& \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+3+1)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+3-1)=\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+3)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+4)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)=\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+3)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+4)=\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+3)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)...\left(3\right)\end{array}$

Step 3: Add equations (1),(2), and (3),

$\begin{array}{rcl}\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}+2)+\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+3)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+4)& =& \sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+3\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)+\sqrt{3}\mathrm{f}(\mathrm{x}+3)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+4)=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+3\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}(x+2)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+4)=\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)...\left(4\right)\end{array}$

Put, the value $x=x+2$,

$\begin{array}{rcl}& \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+2+4)=\mathrm{f}(\mathrm{x}+2+2)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+6)=\mathrm{f}(\mathrm{x}+4)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)...\left(5\right)\end{array}$

Step 4: Adding equations (4) and (5),

$\begin{array}{rcl}& \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+4)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+6)=\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+4)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+6)=\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(\mathrm{x}+4)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+2)-\mathrm{f}(\mathrm{x}+4)\\ & \Rightarrow & \mathrm{f}(\mathrm{x}+6)=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\end{array}$

Put, the value $x=x+6$,

$\begin{array}{rcl}\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x}+12)& =& -\mathrm{f}(\mathrm{x}+6)\\ & =& -\{-\mathrm{f}(\mathrm{x}\left)\right\}\\ & =& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\end{array}$

Therefore, the period is $12$.

Hence, the correct option is an option (C).