Question

If $f\left(x\right)=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& e^{x\ln a}& x^2\\ a^{-3x}& e^{3x\ln a}& x^4\\ a^{-5x}& e^{5x\ln a}& 1\end{array}\right|$, then

• A. $f\left(x\right)\cdot f(-x)=0$
• B. $f\left(x\right)-f(-x)=0$
• C. $f\left(x\right)+f(-x)=0$
• D. $Noneofthese$

Answer 1

Answer: (C)

$f\left(x\right)+f(-x)=0$

$f\left(x\right)=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& e^{x\ln a}& x^2\\ a^{-3x}& e^{3x\ln a}& x^4\\ a^{-5x}& e^{5x\ln a}& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& e^{\ln a^x}& x^2\\ a^{-3x}& e^{\ln a^{3x}}& x^4\\ a^{-5x}& e^{\ln a^{5x}}& 1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}{a}^{-x}& a^x& x^2\\ a^{-3x}& a^{3x}& x^4\\ a^{-5x}& a^{5x}& 1\end{array}\right|$

Clearly $f(-x)=-f\left(x\right)$

$f(-x)+f\left(x\right)=0$