Question

If $f\left(x\right)={\cot }^{-1}\frac{3x-x^3}{1-3x^2}$ and $g\left(x\right)={\cos }^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}$ , then $\underset{x\to \infty }{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g\left(a\right)}$ , $\left(0<a<\frac{1}{2}\right)$ is

• A. $\frac{3}{2(1+x^2)}$
• B. $\frac{3}{2}$
• C. $\frac{3}{2(1+a^2)}$
• D. $\frac{-3}{2}$
• E. None of these

Answer 1

Answer: (D)

$\frac{-3}{2}$

$f\left(x\right)=co{t}^{-1}\frac{3x-x^3}{1-3x^2}=co{t}^{-1}\left(tan3\theta \right)$
$\theta =ta{n}^{-1}x=\frac{\pi }{2}-3ta{n}^{-1}x$
$g\left(x\right)=co{s}^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}=2ta{n}^{-1}x$
$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\frac{\pi }{2}-3ta{n}^{-1}x-\frac{\pi }{2}+3ta{n}^{-1}a}{2ta{n}^{-1}x-2ta{n}^{-1}a}$
$=\frac{-3}{2}\times \frac{ta{n}^{-1}x-ta{n}^{-1}a}{ta{n}^{-1}x-ta{n}^{-1}a}$
$=\frac{-3}{2}$