Question

If $I=\int co{s}^{-1}\sqrt{x}dx$ and $J=\int \frac{si{n}^{-1}\sqrt{x}-co{s}^{-1}\sqrt{x}}{si{n}^{-1}\sqrt{x}+co{s}^{-1}\sqrt{x}}dx$ then J equals to

• A. $x-4I$
• B. $x+I$
• C. $x-\frac{4}{\pi }I$
• D. $\frac{4}{\pi }$

Answer 1

Answer: (C)

$x-\frac{4}{\pi }I$

$J=\int \frac{si{n}^{-1}\sqrt{x}-co{s}^{-1}\sqrt{x}}{si{n}^{-1}x+co{s}^{-1}\sqrt{x}}dx$

$=\int \frac{si{n}^{-1}\sqrt{x}+co{s}^{-1}\sqrt{x}-2co{s}^{-1}\sqrt{x}}{si{n}^{-1}\sqrt{x}+co{s}^{-1}\sqrt{x}}dx$

$=x-\int \frac{2co{s}^{-1}\sqrt{x}}{si{n}^{-1}\sqrt{x}+co{s}^{-1}\sqrt{x}}$

Since, $si{n}^{-1}\sqrt{x}+co{s}^{-1}\sqrt{x}=\frac{\pi }{2}$

$=x-\int \frac{2co{s}^{-1}x}{\frac{\pi }{2}}$

$=x-\frac{4}{\pi }I$