Question

If i² = −1, then the sum i + i² + i³ +... upto 1000 terms is equal to
(a) 1
(b) −1
(c) i
(d) 0

Answer 1

(d) 0

$$\begin{gathered} i+i^2+i^3+i^4...i^{1000} \\ i+i^2+i^3+i^4[\because i^2=-1,i^3=-i\mathrm{and}{i}^4=1] \\ =i-1-i+1 \\ =0 \\ \mathrm{Similarly},\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{next}\mathrm{four}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{equal}\mathrm{to}0.\mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{because}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}i\mathit{}\mathrm{follow}\mathrm{a}\mathrm{cyclicity}\mathrm{of}4. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{terms},\mathrm{till}1000,\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{zero}. \\ i+i^2+i^3+i^4...i^{1000}=0 \end{gathered}$$