Question

If $L={\log }_{x}x\sqrt{x\sqrt[3]{3x\sqrt[4]{4x\sqrt[5]{5x\cdot \cdot \cdot }}}}$ , then value of $\lceil L\rceil$ is where $\lceil .\rceil$ denotes the least integer function.

Answer 1

Let $M=x\sqrt{x\sqrt[3]{3x\sqrt[4]{4x\sqrt[5]{5x\cdot \cdot \cdot }}}}$
$=x\sqrt{x}\cdot \sqrt{\sqrt[3]{3x}}\cdot \sqrt{\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4x\sqrt[5]{5x\cdot \cdot \cdot }}}}$
$=x\sqrt{x}\cdot \sqrt{\sqrt[3]{3x}}\cdot \sqrt{\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4x}}}\cdot \sqrt{\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4\sqrt[5]{5x\cdot \cdot \cdot }}}}$
$=x\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5}}\cdot \cdot \cdot$
$=x^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\cdot \cdot \cdot }$
$=x^{\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdot \cdot \cdot }$
$=x^{\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}\cdot \cdot \cdot }$
$M=x^{e-1}(\because e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...)$
So,
$L={\log }_{x}M\Rightarrow L=e-1=1.72$
$\lceil L\rceil =2$