Question

If $\left[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right]=\lambda {\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}^2$ then $\lambda$ is equal to:

• A. $2$
• B. $3$
• C. $0$
• D. $1$

Answer 1

Answer: (D)

$1$

$\to$ [$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}]$

$=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\left[\right(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\left)\right]$

let d

$=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\left[\right(\overrightarrow{d}.\overrightarrow{a})\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{d}.\overrightarrow{c}\left)\overrightarrow{a}\right]$

$=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\left[\right[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}]\overrightarrow{c}-[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\left]\overrightarrow{a}\right]$

$(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{c})=0$

$=\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]\left(\right(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\left)\overrightarrow{c}\right)$

$=\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$

$=\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$ (cyclic order)

$=[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}{]}^2\Rightarrow (D)$