Question

If $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=.......=\left|z_n\right|=1,$ then $\left|z_1+z_2+z_3+.......+z_n\right|=$

• A. $\left|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}+.....+\frac{1}{z_n}\right|$
• B. $\left|\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_2}-\frac{1}{z_3}-.....+\frac{1}{z_n}\right|$
• C. $\left|\frac{1}{z_1^2}+\frac{1}{z_2^2}+\frac{1}{z_3^2}+.....+\frac{1}{z_n^2}\right|$
• D. $\left|\frac{1}{z_1^2}-\frac{1}{z_2^2}-\frac{1}{z_3^2}-.....+\frac{1}{z_n^2}\right|$

Answer 1

The correct option is A $\left|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}+.....+\frac{1}{z_n}\right|$

Given $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=...\left|z_n\right|=1$

$\therefore |z_1+z_2+z_3+...+z_n|=|\frac{z_1\overline{z_1}}{\overline{z_1}}+...+\frac{z_n\overline{z_n}}{\overline{z_n}}|$

$\because \left|z_1\right|=1\Rightarrow z_1\overline{z^1}=1^2=1=...=z_n\overline{z_n}$

$\Rightarrow |z_1+z_2+...+z_n|=|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}+...+\frac{1}{z_n}|-|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+...+\frac{1}{z_n}|$

$\because \left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$

$\Rightarrow |z_1+z_2+...+z_n|=|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+...+\frac{1}{z_n}|$ ___ (A)