Question

If $M$ and $N$ are the mid-points of the diagonals $AC$ and $BD$ respectively of a quadrilateral $ABCD$, then the value of $\overline{AB}+\overline{AD}+\overline{CB}+\overline{CD}$

• A. $2\overline{MN}$
• B. $2\overline{NM}$
• C. $4\overline{NM}$
• D. $4\overline{MN}$

Answer 1

Answer: (D)

$4\overline{MN}$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$

$=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$

$=2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{d}-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}$

$=2(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})$

$=4(\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}}{2}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}{2})$

$=4(\overrightarrow{N}-\overrightarrow{M})$

$=4\overrightarrow{MN}$.