Question

If $\mathrm{P}=2{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+3\mathrm{xy}-5{\mathrm{y}}^2$, $\mathrm{Q}=-5{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+2\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^2$ and $\mathrm{R}=-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2$ ,

Show that $\mathrm{P}+\mathrm{Q}-\mathrm{R}=0$.

Answer 1

Step 1: Find $\mathrm{P}+\mathrm{Q}$.

Given algebraic expressions: $\mathrm{P}=2{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+3\mathrm{xy}-5{\mathrm{y}}^2$, $\mathrm{Q}=-5{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+2\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^2$ and $\mathrm{R}=-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2$.

Show that: $\mathrm{P}+\mathrm{Q}-\mathrm{R}=0$.

Now,

$\mathrm{P}+\mathrm{Q}=\left(2{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+3\mathrm{xy}-5{\mathrm{y}}^2\right)+\left(-5{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+2\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^2\right)$

$\mathrm{P}+\mathrm{Q}=2{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+3\mathrm{xy}-5{\mathrm{y}}^2-5{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+2\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^2$

Arrange the variables in proper columns and solve them,

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+3\mathrm{xy}-5{\mathrm{y}}^2 \\ -5{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+2\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^2 \\ \mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_} \\ -3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2 \end{gathered}$$

Thus, $\mathrm{P}+\mathrm{Q}=-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2$

Step 2: Show that $\mathrm{P}+\mathrm{Q}-\mathrm{R}=0$.

Since, $\mathrm{P}+\mathrm{Q}=-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2$

Now,

$\mathrm{P}+\mathrm{Q}-\mathrm{R}=\left(\mathrm{P}+\mathrm{Q}\right)-\mathrm{R}$

$\mathrm{P}+\mathrm{Q}-\mathrm{R}=\left(-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2\right)-\left(-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2\right)$

$\mathrm{P}+\mathrm{Q}-\mathrm{R}=-3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2+3{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-5\mathrm{xy}+2{\mathrm{y}}^2$

Arrange the variables in proper columns and solve them,

$$\begin{gathered} -3{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+5\mathrm{xy}-2{\mathrm{y}}^2 \\ +3{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-5\mathrm{xy}+2{\mathrm{y}}^2 \\ \mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_} \\ 0 \end{gathered}$$

Hence, $\mathrm{P}+\mathrm{Q}-\mathrm{R}=0$.