Question

If O, A, B, C and D are five points, such that $3\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=k(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ then k = ________________.

Answer 1

Given: $3\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=k(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$


$$\begin{gathered} 3\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=k\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}=k\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) \\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}\right)+\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}\right)=k\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) \\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{OC}\right)=k\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) \\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=k\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) \\ \Rightarrow 1=k \end{gathered}$$


Hence, k = 1.