Question

If $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=0$ and $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=\lambda (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$, then what is the value of $\lambda$?

• A. $2$
• B. $3$
• C. $4$
• D. $6$

Answer 1

Answer: (D)

$6$

Consider $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=0$

$\Rightarrow (\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})=-3\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}=-3(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b})$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+0=3(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=3(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})...\left(1\right)$

Again consider $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=0$

$\Rightarrow (\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c})=-2\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=-2(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a})$

$\Rightarrow 0+3(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=2(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

$\Rightarrow 3(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=6(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})by\left(1\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=2(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})...\left(2\right)$

We have $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=\lambda (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$

Substituting $\left(1\right),\left(2\right)$ we get

$\Rightarrow 3(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+2(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\lambda (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$

$\Rightarrow 6(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\lambda (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$

$\Rightarrow \lambda =6$