Question

If $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=3\overrightarrow{c},$ then $[\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}]$ is equal to

Answer 1

Given : $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=3\overrightarrow{c}$
$\Rightarrow \left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\right]\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]\overrightarrow{c}-\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]=3\cdots \left(i\right)$
Now,
$[\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}]=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \left\{\right(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\left)\right\}=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot 3\overrightarrow{c}=3\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]=9$
(from $\left(i\right)$)