Question

If P = x³ + y³/(x - y )² + 3xy, Q = x³ - y³/ ( x + y )²- 3xy and R = x² - y² / xy, express [ P x Q / R ] as a rational expression in the lowest form.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{following}\mathrm{expressions}. \\ \mathrm{P}=\frac{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3}{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}^2+3\mathrm{xy}},\mathrm{Q}=\frac{{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{y}}^3}{{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2-3\mathrm{xy}}\mathrm{and}\mathrm{R}=\frac{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2}{\mathrm{xy}} \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{required}\mathrm{to}\mathrm{express}\left[\mathrm{P}\times \mathrm{Q}/\mathrm{R}\right]\mathrm{as}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{expression}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{lowest}\mathrm{form}. \\ \mathrm{First}\mathrm{simplify}\mathrm{the}\mathrm{expression}\mathrm{P}\mathrm{and}\mathrm{Q} \\ \mathrm{Use}\mathrm{the}\mathrm{formulas}, \\ {\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2={\mathrm{a}}^2+2\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2,{\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)}^2={\mathrm{a}}^2-2\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2 \\ {\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left({\mathrm{a}}^2-\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2\right),{\mathrm{a}}^3-{\mathrm{b}}^3=\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)\left({\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2\right) \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{it}\mathrm{implies}\mathrm{that} \\ \mathrm{P}=\frac{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3}{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}^2+3\mathrm{xy}} \\ =\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2+3\mathrm{xy}} \\ =\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)} \\ \mathrm{and} \\ \mathrm{Q}=\frac{{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{y}}^3}{{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2-3\mathrm{xy}} \\ =\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2-3\mathrm{xy}} \\ =\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}{\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)} \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{product}\mathrm{P}\times \mathrm{Q}\mathrm{is} \\ \mathrm{P}\times \mathrm{Q}=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\cancel{\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}}{\cancel{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}}\times \frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\cancel{\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}}{\cancel{\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)}} \\ =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right) \\ =\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right) \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\left[\mathrm{P}\times \mathrm{Q}/\mathrm{R}\right]\mathrm{is} \\ \left[\mathrm{P}\times \mathrm{Q}/\mathrm{R}\right]=\frac{\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)}{\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)/\mathrm{xy}} \\ =\frac{\cancel{\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)}}{\cancel{\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)}}\left(\mathrm{xy}\right) \\ =\frac{\mathrm{xy}}{1} \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{simplified}\mathrm{expression}\mathrm{is} \\ \left[\mathrm{P}\times \mathrm{Q}/\mathrm{R}\right]=\frac{\mathrm{xy}}{1} \end{gathered}$$