Question

If PA and PB are two tangents to a circle with centre O, such that ∠APB = 80°, then ∠AOP = ?


(a) 40°
(b) 50°
(c) 60°
(d) 70°

Answer 1

(b) 50°
$$\begin{gathered} \mathrm{Given},PA\mathrm{and}\mathrm{}PB\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{two}\mathrm{}\mathrm{tangents}\mathrm{to}\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{circle}\mathrm{}\mathrm{with}\mathrm{}\mathrm{centre}O\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\angle APB={80}^0. \\ \therefore \angle APO=\frac{1}{2}\angle APB={40}^0 \\ \left[S\mathrm{ince}\mathrm{}\mathrm{they}\mathrm{are}\mathrm{equally}\mathrm{inclined}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{segment}\mathrm{joining}\mathrm{the}\mathrm{centre}\mathrm{to}\mathrm{that}\mathrm{point}\right] \\ \mathrm{and}\mathrm{}\angle OAP={90}^0 \\ \left[S\mathrm{ince}\mathrm{}\mathrm{tangents}\mathrm{}\mathrm{drawn}\mathrm{}\mathrm{from}\mathrm{}\mathrm{an}\mathrm{}\mathrm{external}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{perpendicular}\mathrm{}\mathrm{to}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{radius}\mathrm{}\mathrm{at}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{of}\mathrm{}\mathrm{contact}\right] \\ \mathrm{Now},\mathrm{}\mathrm{in}\mathrm{}\mathrm{triangle}AOP: \\ \angle AOP+\angle OAP+\angle APO={180}^0 \\ \Rightarrow \angle AOP+{90}^0+{40}^0={180}^0 \\ \Rightarrow \angle AOP={180}^0-{130}^0 \\ \Rightarrow \angle AOP={50}^0 \end{gathered}$$