Question

If PA and PB are two tangents to a circle with centre O, such that ∠AOB = 110°, find ∠APB.


(a) 55°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 90°

Answer 1

(c) 70°
$$\begin{gathered} \mathrm{Given},\mathrm{}\mathrm{PA}\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\mathrm{PB}\mathrm{}\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{tangents}\mathrm{}\mathrm{to}\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{circle}\mathrm{}\mathrm{with}\mathrm{}\mathrm{centre}\mathrm{}\mathrm{O},\mathrm{}\mathrm{with}\angle \mathrm{AOB}={110}^0. \\ \mathrm{Now},\mathrm{}\mathrm{we}\mathrm{}\mathrm{know}\text{that}\mathrm{tangents}\mathrm{}\mathrm{drawn}\mathrm{}\mathrm{from}\mathrm{}\mathrm{an}\mathrm{}\mathrm{external}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{perpendicular} \\ \mathrm{to}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{radius}\mathrm{}\mathrm{at}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{of}\mathrm{}\mathrm{contact}. \\ \mathrm{So},\mathrm{\angle }\mathrm{OAP}={90}^0\mathrm{}\mathrm{and}\angle \mathrm{OBP}={90}^0. \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{OAP}+\mathrm{\angle }\mathrm{OBP}={90}^0+{90}^0={180}^0,\mathrm{which}\mathrm{}\mathrm{shows}\mathrm{}\mathrm{that}\mathrm{}\mathrm{OABP}\mathrm{}\mathrm{is}\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{cyclic} \\ \mathrm{quadrilateral}. \\ \therefore \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}+\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={180}^0 \\ \Rightarrow {110}^0+\mathrm{\angle }\mathrm{APB}={180}^0 \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{APB}={180}^0-{110}^0 \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }\mathrm{APB}={70}^0 \end{gathered}$$