Question

If $S\left(n\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}$, then $S\left(1\right)+S\left(2\right)+S\left(3\right)+...+S\left(n\right)$ is equal to

• A. $(n+1)S\left(n\right)+n$
• B. $(n+1)S\left(n\right)-n$
  
• C. $n\left(S\right(n)-1)$
• D. $n\left(S\right(n)+1)$
  

Answer 1

The correct option is B $(n+1)S\left(n\right)-n$


$S\left(n\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}$
$S\left(1\right)=1$
$S\left(2\right)=1+\frac{1}{2}$
$S\left(3\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
.
.
.
$S(n-1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}$
$S\left(n\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}$
$\sum _{i=1}^{n}S\left(i\right)=S\left(1\right)+S\left(2\right)+...+S\left(n\right)\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}S\left(i\right)=n\cdot 1+(n-1)\cdot \frac{1}{2}+(n-2)\cdot \frac{1}{3}+...+2\cdot \frac{1}{n-1}+1\cdot \frac{1}{n}$
$\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}S\left(i\right)=n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{n-1}{n})$
$\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}S\left(i\right)=nS\left(n\right)-[(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{3})+(1-\frac{1}{4})+...+(1-\frac{1}{n})]\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}S\left(i\right)=nS\left(n\right)-(n-S(n\left)\right)\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}S\left(i\right)=(n+1)S\left(n\right)-n$