Question

If $S_n=\sum _{r=1}^n\frac{r}{\mathrm{1.3.5.7....}(2r+1)}$ then?

• A. $S_n=\frac{1}{2}[1-\frac{1}{\mathrm{1.3.5....}(2n+1)}]$
• B. $S_{\infty }=\frac{1}{2}$
• C. $S_n=\frac{1}{4}[1+\frac{1}{\mathrm{1.3.5....}(2n-1)}]$
• D. $S_{\infty }=\frac{1}{4}$

Answer 1

Answer: (A), (B)

The correct options are
A $S_n=\frac{1}{2}[1-\frac{1}{\mathrm{1.3.5....}(2n+1)}]$
B $S_{\infty }=\frac{1}{2}$

$Sn=\sum _{r=1}^n\frac{r}{\mathrm{1.3.5.7....}(2r+1)}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\sum _{r=1}^n\frac{2r-1-1}{\mathrm{1.3.5.7....}(2r+1)}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\sum _{r=1}^n\frac{1}{\mathrm{1.3.5.7....}(2r-1)}-\frac{1}{\mathrm{1.3.5.7.....}(2r+1)}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\mathrm{1.3.5.7....}(2r+1)})$

$S\infty =\frac{1}{2}(1-0)=\left(\frac{1}{2}\right)=$