Question

If $s_n=\sum _{r=1}^n\frac{r}{\mathrm{1.3.5.7...........}(2r+1)}then$

Answer 1

$S_n={\sum }_{r=1}^n\frac{r}{\mathrm{1.3.5.7....}(2r+1)}{S}_n=\frac{1}{1.3}+\frac{2}{\mathrm{1.3.5}}+....+\frac{n}{\mathrm{1.3.5....}(2n+1)}{S}_n=\frac{1}{2}[\frac{2}{1.3}+\frac{4}{\mathrm{1.3.5}}+\frac{6}{\mathrm{1.3.5.7}}+....+\frac{2n}{\mathrm{1.3.5....}(2n+1)}]=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{1.3})+(\frac{1}{1.3}-\frac{1}{\mathrm{1.3.5}})+(\frac{1}{\mathrm{1.3.5}}-\frac{1}{\mathrm{1.3.5.7}})+(\frac{1}{\mathrm{1.3.5....}(2n-1)}-\frac{1}{\mathrm{1.3.5....}(2n+1)})]S_n=\frac{1}{2}[1-\frac{1}{\mathrm{1.3.5....}(2n+1)}]$