Question

If $\sum _{r=1}^n{T}_r=\frac{n}{8}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$, then find $\sum _{r=1}^n\frac{1}{T_r}$

Answer 1

Given:$S_n=\sum _{r=1}^n{T}_r=\frac{n}{8}(n+1)(n+2)(n+3)$

We know that $T_n=S_n-S_{n-1}$

$=\frac{n}{8}(n+1)(n+2)(n+3)-\frac{n-1}{8}\left(n\right)(n+1)(n+2)$

$=\frac{n(n+1)(n+2)}{8}(n+3-n+1)$

$=\frac{4n(n+1)(n+2)}{8}$

$=\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$

$\therefore T_r=\frac{r(r+1)(r+2)}{2}$

$\frac{1}{T_r}=\frac{2}{r(r+1)(r+2)}$

$=\frac{(r+2)-r}{r(r+1)(r+2)}$

$=\frac{(r+2)}{r(r+1)(r+2)}-\frac{r}{r(r+1)(r+2)}$

$=\frac{1}{r(r+1)}-\frac{1}{(r+1)(r+2)}$

$\sum _{r=1}^n\frac{1}{T_r}=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

$=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

$=\frac{(n+1)(n+2)-2}{2(n+1)(n+2)}$

$=\frac{n^2+3n+2-2}{2(n+1)(n+2)}$

$=\frac{n^2+3n}{2(n+1)(n+2)}$

$=\frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}$