Question

if (tan^-1x)² (cot^-1x)²=5π²/8 find x

Answer 1

Dear Student,

$$\begin{gathered} {\left({\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2+{\left({\cot }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2=\frac{5{\mathrm{\pi }}^2}{8} \\ \Rightarrow {\left({\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\cot }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2+2{\tan }^{-1}\mathrm{x}{\cot }^{-1}\mathrm{x}=\frac{5{\mathrm{\pi }}^2}{8} \\ \Rightarrow {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^2-2{\tan }^{-1}\mathrm{x}\left[\frac{\mathrm{\pi }}{2}-{\tan }^{-1}\mathrm{x}\right]=\frac{5{\mathrm{\pi }}^2}{8} \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-2\times \frac{\mathrm{\pi }}{2}\times {\tan }^{-1}\mathrm{x}+2{\left({\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2=\frac{5{\mathrm{\pi }}^2}{8} \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-\mathrm{\pi }{\tan }^{-1}\mathrm{x}+2{\left({\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2=\frac{5{\mathrm{\pi }}^2}{8} \\ \Rightarrow 2{\left({\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2-\mathrm{\pi }{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{3{\mathrm{\pi }}^2}{8}=0 \\ \Rightarrow 2{\left({\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)}^2+\frac{\mathrm{\pi }}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{3\mathrm{\pi }}{2}{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{3{\mathrm{\pi }}^2}{8}=0 \\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\mathrm{x}\left[2{\tan }^{-1}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\left[2{\tan }^{-1}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]=0 \\ \Rightarrow \left[{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right]\left[2{\tan }^{-1}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]=0 \\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4};{\tan }^{-1}\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ \mathrm{Now},{\tan }^{-1}\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ \Rightarrow \mathrm{x}=-1 \\ \mathrm{Neglecting},{\tan }^{-1}\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\mathrm{as}{\tan }^{-1}\mathrm{x}\in ]-\mathrm{\pi }/2,\mathrm{\pi }/2[ \end{gathered}$$

Regards