Question

If tangents PA and PB from a point P to a circle with centre O are drawn, so that ∠APB = 80°, then ∠POA = ?


(a) 40°
(b) 50°
(c) 80°
(d) 60°

Answer 1

(b) 50°

$$\begin{gathered} \mathrm{From}∆OPA\mathrm{and}∆OPB, \\ OA=OB\left(\text{R}\mathrm{adi}\text{i}\mathrm{}\mathrm{of}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{same}\mathrm{}\mathrm{circle}\right) \\ OP\left(C\mathrm{ommon}\mathrm{}\mathrm{side}\right) \\ PA=PB\left(\text{S}\mathrm{ince}\mathrm{}\mathrm{tangents}\mathrm{}\mathrm{drawn}\mathrm{}\mathrm{from}\mathrm{}\mathrm{an}\mathrm{}\mathrm{external}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{to}\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{circle}\mathrm{}\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{equal}\right) \\ \therefore ∆OPA\cong ∆OPB\left(\mathrm{SSS}\mathrm{}\mathrm{rule}\right) \\ \therefore \mathrm{\angle }APO=\mathrm{\angle }BPO \\ \therefore \mathrm{\angle }APO=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }APB={40}^0 \\ \mathrm{}A\mathrm{nd}\mathrm{\angle }OAP={90}^0\left(\text{S}\mathrm{ince}\mathrm{}\mathrm{tangents}\mathrm{}\mathrm{drawn}\mathrm{}\mathrm{from}\mathrm{}\mathrm{an}\mathrm{}\mathrm{external}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{are} \\ \mathrm{perpendicular}\mathrm{}\mathrm{to}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{radius}\mathrm{}\mathrm{at}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{of}\mathrm{}\mathrm{contact}\right) \\ \mathrm{Now},\text{in}∆OAP,\mathrm{\angle }AOP+\mathrm{\angle }OAP+\mathrm{\angle }APO={180}^0 \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }AOP+{90}^0+{40}^0={180}^0 \\ \Rightarrow \mathrm{\angle }AOP={180}^0-{130}^0={50}^0 \end{gathered}$$