Question

if the quadratic equations:ax²+2cx+b=0 and​ax²+2bx+c=0 (b is not equal to c) have a common root, then find the value of a+4b+4c

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{common}\mathrm{root}\mathrm{is}\mathrm{p}. \\ {\mathrm{ap}}^2+2\mathrm{cp}+\mathrm{b}=0...\left(1\right) \\ {\mathrm{ap}}^2+2\mathrm{bp}+\mathrm{c}=0...\left(2\right) \\ \mathrm{Subtracting}\left(2\right)\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 2\mathrm{p}\left(\mathrm{c}-\mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}\right)=0 \\ -2\mathrm{p}\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}\right)+\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}\right)=0 \\ \left(-2\mathrm{p}+1\right)\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}\right)=0 \\ \mathrm{As}\mathrm{b}\ne \mathrm{c} \\ \mathrm{So},-2\mathrm{p}=-1 \\ \mathrm{p}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{Substituting}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{p}\mathrm{in}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{a}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2\mathrm{c}\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{b}=0 \\ \frac{\mathrm{a}}{4}+\mathrm{c}+\mathrm{b}=0 \\ \frac{\mathrm{a}+4\mathrm{c}+4\mathrm{b}}{4}=0 \\ \mathrm{a}+4\mathrm{b}+4\mathrm{c}=0\mathrm{ANS}... \end{gathered}$$