Question

If the vectors $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ from the sides $BC,CA,AB$ respectively of triangle $ABC$, then

• A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=0$
• B. $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$
• C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}$
• D. $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=0$

Answer 1

Answer: (B)

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$

Given: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0$
$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
$=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=0$
But $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=0$
$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=0$
$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$
$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
$\Rightarrow \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=0$
But $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}=0$ $\Rightarrow \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$
$\therefore \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$
$\therefore \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}$