Question

If the zeroes of the polynomial f(x) = x³ - 6x² + x + 2 are a – b, a , a + b, find the values of a and b.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2. \\ \mathrm{zeros}\mathrm{of}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{are}\mathrm{a}-\mathrm{b},\mathrm{a},\mathrm{a}+\mathrm{b}. \\ \mathrm{We}\mathrm{know}, \\ \mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{zeros}\mathrm{of}\mathrm{cubic}\mathrm{polynomial}=-\frac{\mathrm{coefficient}\mathrm{of}{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{coefficient}\mathrm{of}{\mathrm{x}}^3} \\ \mathrm{so},\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{a}+\mathrm{a}+\mathrm{b}=-\frac{-6}{1}=6 \\ 3\mathrm{a}=6 \\ \mathrm{therefore},\mathrm{a}=2. \\ \mathrm{Now}, \\ \mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{zeroes}\mathrm{of}\mathrm{cubic}\mathrm{polynomial}=-\frac{\mathrm{constant}\mathrm{term}}{\mathrm{coefficient}\mathrm{of}{\mathrm{x}}^3} \\ \mathrm{so},\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)=-\frac{2}{1}=-2 \\ \mathrm{putting}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{a} \\ \left(2-\mathrm{b}\right)\left(2\right)\left(2+\mathrm{b}\right)=-2 \\ 4-{\mathrm{b}}^2=-1\left(\mathrm{since}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)={\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{b}}^2=5 \\ \Rightarrow \mathrm{b}=\pm \sqrt{5}. \\ \mathrm{So},\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{a}=2\mathrm{and}\mathrm{b}=\pm \sqrt{5}. \end{gathered}$$