Question

if three is a zero of the polynomial x³+ax²-13x+b such that 5a+b=0, find the values of a and b and also the other zeroes

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{ax}}^2-13\mathrm{x}+\mathrm{b} \\ \mathrm{Since}3\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{zero}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{polynomial}, \\ \mathrm{p}\left(3\right)=0 \\ {\left(3\right)}^3+\mathrm{a}{\left(3\right)}^2-13\left(3\right)+\mathrm{b}=0 \\ 27+9\mathrm{a}-39+\mathrm{b}=0 \\ 9\mathrm{a}+\mathrm{b}=12.....\left(1\right) \\ 5\mathrm{a}+\mathrm{b}=0....\left(2\right) \\ \mathrm{Subtracting}\left(2\right)\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 4\mathrm{a}=12\Rightarrow \mathrm{a}=3 \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(2\right),\mathrm{b}=-5\mathrm{a}=-5\times 3=-15 \\ \mathrm{So},\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-13\mathrm{x}-15 \\ =\left(\mathrm{x}-3\right)\left({\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+5\right) \\ =\left(\mathrm{x}-3\right)\left({\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+\mathrm{x}+5\right) \\ =\left(\mathrm{x}-3\right)\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+5\right)+1\left(\mathrm{x}+5\right)\right] \\ =\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+5\right) \\ \mathrm{So},\mathrm{zeroes}\mathrm{of}\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{are}: \\ \left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+5\right)=0 \\ \mathrm{x}=3;-1;-5 \end{gathered}$$