Question

If two consecutive angles of a cyclic quadrilateral are congruent, then prove that one pair of opposite sides is congruent and other is parallel.More precisely: Given :-
$$\begin{gathered} \square \mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{cyclic}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{in}\mathrm{which}\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD} \\ \mathrm{To}\mathrm{prove}\mathrm{side}\mathrm{DC}\cong \mathrm{side}\mathrm{AB}\mathrm{and}\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC} \end{gathered}$$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}\mathrm{two}\mathrm{consecutive}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{cyclic}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{are}\mathrm{congruent}. \\ \mathrm{Let}\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD} \\ \angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{BCD}=180°(\mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{cyclic}\mathrm{quadrilateral}) \\ \angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{ABC}=180°(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}) \\ \mathrm{The}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{angles}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{transversal}\mathrm{line}\mathrm{is}\mathrm{supplementary}. \\ \therefore \mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC} \\ \mathrm{Construction}:\mathrm{Draw}\mathrm{a}\mathrm{line}\mathrm{from}\mathrm{D}\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{AB}\mathrm{which}\mathrm{intersects}\mathrm{BC}\mathrm{at}\mathrm{E}. \\ \mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}\mathrm{and}\mathrm{AB}\parallel \mathrm{DE} \\ \therefore \mathrm{ABED}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \\ \mathrm{So},\mathrm{AB}=\mathrm{DE}...\left(\mathrm{i}\right)(\mathrm{Opposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{equal}) \\ \angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{DEC}(\mathrm{Corresponding}\mathrm{angles}) \\ \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}\left(\mathrm{Given}\right) \\ \mathrm{So},\angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{BCD} \\ \therefore \mathrm{DE}=\mathrm{DC}...\left(\mathrm{ii}\right)(\mathrm{Sides}\mathrm{opposite}\mathrm{to}\mathrm{equal}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}) \\ \mathrm{Using}\mathrm{equations}\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{and}\left(\mathrm{ii}\right),\mathrm{we}\mathrm{have}: \\ \mathrm{AB}=\mathrm{DC} \end{gathered}$$