Question

If two tangents inclined at an angle of 60° are drawn to a circle of radius 3 cm, then the length of each tangent is

(a) 3 cm
(b) $\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$
(c) $3\sqrt{3}\mathrm{cm}$
(d) 6 cm

Answer 1

(c) $3\sqrt{3}\mathrm{cm}$

$$\begin{gathered} \mathrm{Given},\mathrm{PA}\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\mathrm{PB}\mathrm{}\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{tangents}\mathrm{}\mathrm{to}\mathrm{circle}\mathrm{}\mathrm{with}\mathrm{}\mathrm{cent}\text{re}\mathrm{}\mathrm{O}\mathrm{}\mathrm{and}\mathrm{}\mathrm{radius}\mathrm{}3\mathrm{}\mathrm{cm}\mathrm{}\mathrm{and}\angle \mathrm{APB}={60}^0. \\ \text{T}\mathrm{angents}\mathrm{}\mathrm{drawn}\mathrm{}\mathrm{from}\mathrm{}\mathrm{an}\mathrm{}\mathrm{external}\mathrm{}\mathrm{point}\mathrm{}\mathrm{are}\mathrm{}\mathrm{equal};\mathrm{}\mathrm{so},\mathrm{}\mathrm{PA}=\mathrm{PB}. \\ \text{A}\mathrm{nd}\mathrm{}\mathrm{OP}\mathrm{}\mathrm{is}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{bisector}\mathrm{}\mathrm{of}\angle \mathrm{APB},\mathrm{}\mathrm{which}\mathrm{}\mathrm{gives}\angle \mathrm{OPB}=\mathrm{\angle }\mathrm{OPA}={30}^0. \\ \mathrm{OA}\perp \mathrm{PA}.\text{S}\mathrm{o},\mathrm{}\mathrm{from}\mathrm{}\mathrm{right}-\mathrm{angled}\mathrm{}∆\mathrm{OPA},\mathrm{}\mathrm{we}\mathrm{}\mathrm{have}: \\ \mathrm{}\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\tan {30}^0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \frac{3}{\mathrm{AP}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \mathrm{AP}=3\sqrt{3}\mathrm{cm} \end{gathered}$$