Question

If $[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}]=\lambda [\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}{]}^2$, then $\lambda$ is equal to

• A. $0$
• B. $1$
• C. $2$
• D. $3$

Answer 1

The correct option is B $1$

$[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}]$

We know

$\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]=\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$

So,

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\left[\right(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\left)\right]$

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\left[\right(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}).a]c-\left[\right(b\times c).c]d]$

$=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{(}b)).[\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]]\overrightarrow{c}-[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{c}\left]\overrightarrow{d}\right]$

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\left[\right(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\left)c\right]$

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}\left(\right[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\left]\right)$

$\left[abc\right]\left[abc\right]$

$[abc{]}^2$

$[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}.\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}]=\lambda [\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}{]}^2$

clearly

$\lambda =1$