Question

If $\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]=4$ and $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d})+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{b})+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d})\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+k\overrightarrow{a}=0$,

then the value of $k$ is

• A. $0$
• B. $2$
• C. $4$
• D. $8$

Answer 1

The correct option is D $8$

We know that $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}.$

Putting $\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}=\overrightarrow{e}$, we get
$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d})=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{e}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{a}$

$=\{\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}\left)\right\}\overrightarrow{b}-\{\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}\left)\right\}\overrightarrow{a}$

$=\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}-\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}$ $...\left(1\right)$

Similarly,
$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{b})=\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{a}$

$=\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}$ $...\left(2\right)$

Also,
$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d})\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=-(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d})$

$=(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{a})$

$=\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{d}\overrightarrow{a}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\overrightarrow{a}\right]\overrightarrow{b}$

$=-\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}$ $...\left(3\right)$

From $\left(1\right),\left(2\right)$ and $\left(3\right),$ we get
$-k\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d})+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{b})+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d})\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$

$=\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}-\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}-\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}$

$=-2\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}=-\left(2\right)\left(4\right)\overrightarrow{a}=-8\overrightarrow{a}=-k\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow k=8.$

Hence, option D.