Question

If $X=\left\{8^n-7n-1:n\in N\right\}\mathrm{and}Y=\left\{49\left(n-1\right):n\in N\right\}$, then prove that $X\subseteq Y.$

Answer 1

Given:
$X=\left\{8^n-7n-1:n\in N\right\}\mathrm{and}Y=\left\{49\left(n-1\right):n\in N\right\}$

To prove:
$X\subseteq Y$
$$\begin{gathered} \mathrm{Let}: \\ {x}_n=8^n-7n-1,n\in N \\ \Rightarrow x_1=8-7-1=0 \\ \mathrm{For}\mathrm{any}n⩾2,\mathrm{we}\mathrm{have}: \\ {x}_n=8^n-7n-1=(1+7{)}^n-7n-1 \\ \Rightarrow x_n={}^{n}C_0+{}^{n}C_1.7+{}^{n}C_2.7^2+{}^{n}C_3.7^3+...+{}^{n}C_n.7^n-7n-1 \\ \Rightarrow x_n=1+7n+{}^{n}C_2.7^2+{}^{n}C_3.7^3+...+7^n-7n-1[\because {}^{n}C_0=1and{}^{n}C_1=n] \\ \Rightarrow x_n=7^2\{{}^{n}C_2+{}^{n}C_3.7+{}^{n}C_4{7}^2+...+{}^{n}C_n.7^{n-2}\} \\ \Rightarrow x_n=49\{{}^{n}C_2+{}^{n}C_3.7+{}^{n}C_4{7}^2+...+{}^{n}C_n.7^{n-2}\} \\ \mathrm{Thus},x_n\mathrm{is}\mathrm{some}\mathrm{positive}\mathrm{integ}\mathrm{ral}\mathrm{multiple}\mathrm{of}49\mathrm{for}\mathrm{all}n⩾2. \\ X\mathrm{consists}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{those}\mathrm{positive}\mathrm{integral}\mathrm{multiple}s\mathrm{of}49\mathrm{that}\mathrm{are}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{form}49\{{}^{n}C_2+{}^{n}C_3.7+{}^{n}C_4{7}^2+...+{}^{n}C_n.7^{n-2}\}\mathrm{along}\mathrm{with}\mathrm{zero}. \\ Y=\{49(n-1):n\in N\}\mathrm{implies}\mathrm{that}\mathrm{it}\mathrm{consists}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{integral}\mathrm{multiple}s\mathrm{of}49\mathrm{along}\mathrm{with}\mathrm{zero}. \\ \therefore X\subseteq Y \end{gathered}$$