Question

If x denotes the digit at hundreds place of the number $\overline{67x19}$ such that the number is divisible by 11. Find all possible values of x.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{A}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}11,\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{difference}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{its}\mathrm{digits}\mathrm{at}\mathrm{odd}\mathrm{places}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{its}\mathrm{digits}\mathrm{at}\mathrm{even}\mathrm{places}\mathrm{is}\mathrm{either}0\mathrm{or}\mathrm{a}\mathrm{multiple}\mathrm{of}11. \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{digits}\mathrm{at}\mathrm{odd}\mathrm{places}-\mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{digits}\mathrm{at}\mathrm{even}\mathrm{places} \\ =(6+\mathrm{x}+9)-(7+1) \\ =(15+\mathrm{x})-8=\mathrm{x}+7 \\ \therefore \mathrm{x}+7=11 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=4 \end{gathered}$$