Question

If $x=\frac{\sqrt{b^2+ab}+\sqrt{b^2-ab}}{\sqrt{b^2+ab}-\sqrt{b^2-ab}}$ then find the value of ${ax}^2-2bx$

Answer 1

Solution:- given

$\Rightarrow x=\frac{\sqrt{b^2+ab}+\sqrt{b^2-ab}}{(\sqrt{b^2+ab}-\sqrt{b^2-ab})}$

$=\frac{(\sqrt{b^2+ab}+\sqrt{b^2-ab})}{(\sqrt{b^2+ab}-\sqrt{b^2-ab})}\times \frac{(\sqrt{b^2+ab}+\sqrt{b^2-ab})}{(\sqrt{b^2+ab}+\sqrt{b^2-ab})}$

$=\frac{(\sqrt{b^2+ab}+\sqrt{b^2-ab}{)}^2}{(\sqrt{b^2+ab}-\sqrt{b^2-ab}{)}^2}=\frac{b^2+ab+b^2-ab+2\sqrt{(b^2+ab)(b^2-ab)}}{b^2+ab-b^2+ab}$

$=\frac{2b^2+2\sqrt{b^4-a^2{b}^2}}{2ab}=\frac{2b^2+2b\sqrt{b^2-a^2}}{2ab}$

$=\frac{b+\sqrt{b^2-a^2}}{a}$

$\Rightarrow x^2=\frac{b^2+(\sqrt{b^2-a^2}{)}^2+2b\sqrt{b^2-a^2}}{a^2}=\frac{2b^2-a^2+2b\sqrt{b^2-a^2}}{a^2}$

Now, $a{x}^2-2bx$

$=\frac{2b^2-a^2+2b\sqrt{b^2-a^2}}{a^2}\times a-2b\times \frac{b+\sqrt{b^2-a^2}}{a}$

$\Rightarrow \frac{2b^2-a^2+2b\sqrt{b^2-a^2}-2b^2-2b\sqrt{b^2-a^2}}{a}$

$\Rightarrow \frac{-a^2}{a}=-a\left(Ans\right)$