Question

If $x\in R$ then $\frac{x^2+2x+a}{x^2+4x+3a}$ can take all real values if?

• A. $a\in (0,2)$
• B. $a\in [0,1]$
• C. $a\in [-1,1]$
• D. None of these

Answer 1

Answer: (B)

$a\in [0,1]$

Let $\frac{x^2+2x+a}{x^2+4x+3a}=k$

$\Rightarrow x^2+2x+a=k(x^2+4x+3a)$

$\Rightarrow x^2+2x+a-k(x^2+4x+3a)=0$

$\Rightarrow (1-k)x^2+(2-4k)x+(a-3ka)=0$

Since $x\in R,D\ge 0$

$\Rightarrow {(2-4k)}^2-4\times (1-k)(a-3ka)\ge 0$

$\Rightarrow 4+16k^2-16k-4(a-3ka-ak+3k^{2}a)\ge 0$

$\Rightarrow 4+16k^2-16k-4a+12ka+4ak-12k^{2}a\ge 0$

$\Rightarrow 1+4k^2-4k-a+3ka+ak-3k^{2}a\ge 0$

$\Rightarrow k^2(4-3a)+k(4a-4)+1-a\ge 0$

$\Rightarrow 4-3a>0$

$\Rightarrow 3a<4$

$\therefore a<\frac{4}{3}$

$D<0$

$\Rightarrow {(4a-4)}^2-4(4-3a)(1-a)\le 0$

$\Rightarrow 16{(a-1)}^2-4(4-3a)(1-a)\le 0$

$\Rightarrow (1-a)(4(1-a)-4+3a)\le 0$

$\Rightarrow (1-a)(-a)\le 0$

$\Rightarrow (a-1)a\le 0$

$\Rightarrow a\in [0,1]$