Question

If x is rational and y is irrational, then show that (x + y) is always irrational.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}x\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{and}y\mathrm{be}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{let}(x+y)\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}c. \\ \mathrm{So},\mathrm{we}\mathrm{have}: \\ x+y=c \\ \Rightarrow y=c-x \\ \mathrm{Now},c-x\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{because}\mathrm{both}x\mathrm{and}c\mathrm{are}\mathrm{rational},\mathrm{but}y\mathrm{is}\mathrm{irrational};\mathrm{thus},\mathrm{we}\mathrm{arrive}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{contradiction}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \end{gathered}$$