Here x=sint t,y=sin kt
∴dxdt=cos t,dydt=k cos kt ⇒dydx=kcos ktcos t
⇒ cos tdydx=k cos kt ⇒cos2 t(dydx)2=k2 cos2 kt
⇒(1−sin2t)(dydx)2=k2(1−sin2 kt)⇒(1−x2)(dydx)2=k2(1−y2)
Differentiating w.r.t. x both the sides,
(1−x2)×2dydx(d2ydx2)+(dydx)2(−2x)=−2k2ydydx
∴ (1−x2)d2ydx2−xdydx+k2y=0