If x+y+z=9 and xy+yz+zx = 23, the value of $(x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z) = ?$

(a) 108

(b) 207

(c) 669

(d) 729

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Solution

$G i v e n x + y + z = 9 a n d x y + y z + z x = 23$

$W e k n o w x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$

$B u t (x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 x y - 2 y z - 2 z x$

$S o, x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) = (x + y + z) ((x + y + z)^{2} - 3 x y - 3 y z - 3 z x) = (x + y + z) ((x + y + z)^{2} - 3 (x y + y z + z x) = 9 (9^{2} - 3 \times 23) = 9 (81 - 69) = 9 \times 12 = 108$

(a) 108

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x + y + z = 7, x y + y z + z x = 16

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z

x + y + z = 6

(x y + y z + z x) = 11

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z

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