Question

$\mathrm{If}\mathrm{y}=1-\frac{\mathrm{x}}{1!}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+\frac{{\mathrm{x}}^4}{4!}-\frac{{\mathrm{x}}^5}{5!}+....,\mathrm{then}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}.$

Answer 1

If $y=1-\frac{\mathrm{x}}{1!}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+\frac{{\mathrm{x}}^4}{4!}-\frac{{\mathrm{x}}^5}{5!}+.......$
Then $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left[1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^{\mathit{3}}}{3!}+\frac{x^4}{4!}-.......\right]$
$$\begin{gathered} =\frac{d}{dx}\left(1\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1!}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2!}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3!}\right)+........... \\ =0-\frac{1}{1!}\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{1}{2!}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{1}{3!}\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+.......... \\ =-\frac{1}{1!}\times 1+\frac{1}{2!}\times 2x-\frac{1}{3!}\times 3x^2+\frac{1}{4!}\times 4x^3-........ \\ =-\frac{1}{1!}+\frac{x}{1!}-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3-........... \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}\frac{dy}{dx}=-\left(1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-........\right) \end{gathered}$$