Question

# If $$y = \tan^{-1} \left [\dfrac {\sqrt {1 + x^{3}} + \sqrt {1 - x^{3}}}{\sqrt {1 + x^{3}} - \sqrt {1 - x^{3}}}\right ]$$, then $$y'$$ at $$x = 0$$ is

A
0
B
32
C
12
D
32

Solution

## The correct option is A $$0$$$$\cfrac { \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } } \\ =\left( \cfrac { \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } } \right) \left( \cfrac { \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } } \right) \\ =\cfrac { { \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } \right) }^{ 2 } }{ { \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 3 } } \right) }^{ 2 }-{ \left( \sqrt { 1-{ x }^{ 3 } } \right) }^{ 2 } } \\ =\cfrac { 1+{ x }^{ 3 }+1-{ x }^{ 3 }+2\sqrt { \left( 1+{ x }^{ 3 } \right) \left( 1-{ x }^{ 3 } \right) } }{ \left( 1+{ x }^{ 3 } \right) -\left( 1-{ x }^{ 3 } \right) } \\ =\cfrac { 2-2{ x }^{ 3 }+2\sqrt { 1-{ x }^{ 6 } } }{ 2{ x }^{ 3 } } \\ =\cfrac { 1-{ x }^{ 3 }+\sqrt { 1-{ x }^{ 6 } } }{ { x }^{ 3 } } \\ \Rightarrow y=\tan ^{ -1 }{ \left[ \cfrac { 1-{ x }^{ 3 }+\sqrt { 1-{ x }^{ 6 } } }{ { x }^{ 3 } } \right] } \\ \cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { 1 }{ 1+\cfrac { { \left( 1-{ x }^{ 3 }+\sqrt { 1-{ x }^{ 6 } } \right) }^{ 2 } }{ { x }^{ 6 } } } \times \cfrac { -3{ x }^{ 2 }\left( 1+\cfrac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 6 } } } \right) }{ { x }^{ 6 } } \\ \Rightarrow { \left| \cfrac { dy }{ dx } \right| }_{ at\; x=0 }=0$$Mathematics

Suggest Corrections

0

Similar questions
View More