Question

If $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}},$ then $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=?$

• A. $\frac{x^{\sin x}\left[x\cos x\log x+\sin x\right]}{x}$
• B. $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\left[\mathrm{xcosxlogx}+\cos \mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}}$
• C. $\frac{\mathrm{y}\left[\mathrm{xcosxlogx}+\mathrm{cosx}\right]}{\mathrm{x}}$
• D. None of these

Answer 1

The correct option is A

$\frac{x^{\sin x}\left[x\cos x\log x+\sin x\right]}{x}$

Finding the value of $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$:

The given differential equation is $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}$

$\begin{array}{l}\mathrm{y}={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\\ \log \mathrm{y}=\log {\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\\ \log \mathrm{y}=\mathrm{sinx}\log \mathrm{x}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\log \mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{sinx}\log \mathrm{x}\right)\\ \frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{sinx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\log \mathrm{x}\right)+\left(\log \mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\sin \mathrm{x}\right)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\left[\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\mathrm{logx}\right]\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\left[\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}+\left(\mathrm{cosx}\right)\log \mathrm{x}\right]\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\left[\mathrm{xcosx}\log \mathrm{x}+\mathrm{sinx}\right]}{\mathrm{x}}\end{array}$

Hence, the correct option is (A).