Question

If y = x /x + a, then prove: x dy / dx = y [ 1 – y].

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{x}-\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)}{{\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)}^2}=\frac{-\mathrm{a}}{{\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)}^2} \\ \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{ax}}{{\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)}^2} \\ \mathrm{Now}\mathrm{y}\left(1-\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}}\left[1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}}\right]=\frac{-\mathrm{a}}{{\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)}^2} \\ \mathrm{Hence} \\ \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\left(1-\mathrm{y}\right) \end{gathered}$$