Question

If $|z_1|=1,|z_2|=2,|z_3|=3$ and $|9z_1{z}_2+4z_1{z}_3+z_2{z}_3|=12,$ then the value of $|z_1+z_2+z_3|$ is

• A. $1$
• B. $2$
• C. $3$
• D. $4$

Answer 1

The correct option is B $2$

$|z_1|=1\Rightarrow z_1\overline{z_1}=1,$
$|z_2|=2\Rightarrow z_2\overline{z_2}=4,$
$|z_3|=3\Rightarrow z_3\overline{z_3}=9$

Also, $|9z_1{z}_2+4z_1{z}_3+z_2{z}_3|=12$
$\Rightarrow |z_1{z}_2{z}_3\overline{z_3}+z_1{z}_2{z}_3\overline{z_2}+z_1\overline{z_1}{z}_2{z}_3|=12$
$\Rightarrow |z_1{z}_2{z}_3||\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}|=12$
$\Rightarrow |z_1||z_2||z_3||\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}|=12$
$\Rightarrow 6|\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}|=12$
$\Rightarrow |\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}|=2$
$\Rightarrow |z_1+z_2+z_3|=2$