Question

If $\mathrm{z}\left(1+\mathrm{a}\right)=\mathrm{b}+\mathrm{ic}$ and ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=1,$ then $\frac{\left(1+\mathrm{iz}\right)}{\left(1-\mathrm{iz}\right)}$ is equal to

• A. $\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)}{\left(1+\mathrm{c}\right)}$
• B. $\frac{\left(\mathrm{b}-\mathrm{ic}\right)}{\left(1+\mathrm{a}\right)}$
• C. $\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{ic}\right)}{\left(1+\mathrm{b}\right)}$
• D. None of these

Answer 1

The correct option is A

$\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)}{\left(1+\mathrm{c}\right)}$

Explanation for the correct option:

Finding the value of $\frac{\left(1+\mathrm{iz}\right)}{\left(1-\mathrm{iz}\right)}$:

The given equations are,

$\mathrm{z}\left(1+\mathrm{a}\right)=\mathrm{b}+\mathrm{ic}....\left(\mathrm{i}\right)$

${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=1...\left(\mathrm{ii}\right)$

Now,

$\begin{array}{c}\frac{1+\mathrm{iz}}{1-\mathrm{iz}}=\frac{1+\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{b}+\mathrm{ic}\right)}{\left(1+\mathrm{a}\right)}}{1-\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{b}+\mathrm{ic}\right)}{\left(1+\mathrm{a}\right)}}\left[\mathrm{from}\left(i\right)\right]\\ =\frac{1+\mathrm{a}-\mathrm{c}+\mathrm{ib}}{1+\mathrm{a}+\mathrm{c}-\mathrm{ib}}\\ =\frac{\left(1+\mathrm{a}-\mathrm{c}+\mathrm{ib}\right)\left(1+\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{ib}\right)}{{\left(1+\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)}^2+{\mathrm{b}}^2}\left[\mathrm{multiply}\mathrm{by}\mathrm{conjugate},\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2,i^2=-1\right]\\ =\frac{1+2\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{ib}+2\mathrm{iab}}{1+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{ac}+2\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)}\left[\because {\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2\mathrm{ab}+2\mathrm{bc}+2\mathrm{ca}\right]\end{array}$

$=\frac{2\mathrm{a}+2{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{ib}+2\mathrm{iab}}{2+2\mathrm{ac}+2(\mathrm{a}+\mathrm{c})}\left[\mathrm{from}\left(\mathrm{ii}\right)\right]$

$\begin{array}{l}=\frac{\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2+\mathrm{ib}+\mathrm{iab}}{1+\mathrm{ac}+(\mathrm{a}+\mathrm{c})}\\ =\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{a}+1\right)+\mathrm{ib}\left(\mathrm{a}+1\right)}{\left(\mathrm{a}+1\right)\left(\mathrm{c}+1\right)}\\ =\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}{\mathrm{c}+1}\end{array}$

Hence, the correct option is A.