Question

If $z_1+z_2+z_3=0$, then $|z_2-z_3{|}^2+|z_3-z_1{|}^2+|z_1-z_2{|}^2$ equals

• A. $\frac{1}{3}|z_1{|}^2+2|z_2{|}^2+2|z_3{|}^2$
• B. $\frac{2}{3}(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+|z_3{|}^2)$
• C. $2(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+|z_3{|}^2)$
• D. $3(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+|z_3{|}^2)$

Answer 1

The correct option is D $3(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+|z_3{|}^2)$

Given that, $z_1+z_2+z_3=0$ ....(1)
Let $a=|z_2-z_3{|}^2+|z_3-z_1{|}^2+|z_1-z_2{|}^2$
$\Rightarrow a=(z_2-z_3)(\overline{z_2}-\overline{z_3})+(z_3-z_1)(\overline{z_3}-\overline{z_1})+(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})$
$\Rightarrow a=2(|z_2{|}^2+|z_3{|}^2+|z_1{|}^2)-[\overline{z_2}(z_1+z_3)+\overline{z_3}(z_1+z_2)+\overline{z_1}(z_3+z_2)]$
$\Rightarrow a=2(|z_2{|}^2+|z_3{|}^2+|z_1{|}^2)+(\overline{z_2}{z}_2+\overline{z_3}{z}_3+\overline{z_1}{z}_1)$ ....[ Using (1)]

$\Rightarrow a=3(|z_2{|}^2+|z_3{|}^2+|z_1{|}^2)$
Ans: D