Question

In a circle of radius 13cm, PQ and RS are two parallel chords of length 24cm and 10cm respectively calculate the distance between the chords if they are
(i) On the same side of the centre.
(ii) On the opposite sides of the centre.

Answer 1

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right)\mathrm{PQ}\hspace{0.17em}=24\mathrm{cm}\mathrm{and}\mathrm{RS}=10\mathrm{cm} \\ D\mathrm{raw}\mathrm{a}\mathrm{line}\mathrm{segment}\mathrm{MN},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{PQ}\mathrm{and}\mathrm{RS}\mathrm{and}\mathrm{it}\mathrm{passes}\mathrm{through}\text{the}\mathrm{centre}\mathrm{O}. \\ \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{perpendicular}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{centre}\mathrm{on}a\mathrm{chord}\mathrm{divides}\mathrm{the}\mathrm{chord}. \\ \therefore \mathrm{PM}\hspace{0.17em}=\mathrm{MQ}=12\mathrm{cm}\mathrm{and}\mathrm{RN}=\mathrm{NS}=5\mathrm{cm} \\ \mathrm{Now},\mathrm{in}\mathrm{right}\mathrm{triangle}\mathrm{OPM}, \\ \mathrm{OM}=\sqrt{{\mathrm{OP}}^2-{\mathrm{PM}}^2} \\ =\sqrt{{13}^2-{12}^2} \\ =\sqrt{169-144} \\ =\sqrt{25} \\ =5\mathrm{cm} \\ \mathrm{Similarly}\mathrm{in}\mathrm{right}\mathrm{triangle}\mathrm{ORN}, \\ \mathrm{ON}=\sqrt{{\mathrm{OR}}^2-{\mathrm{RN}}^2} \\ =\sqrt{{13}^2-5^2} \\ =\sqrt{169-25} \\ =\sqrt{144} \\ =12\mathrm{cm} \\ \mathrm{Now},\mathrm{MN}=\mathrm{ON}-\mathrm{OM} \\ =12\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=7\mathrm{cm} \\ \therefore \mathrm{The}\mathrm{distance}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{chords}=7\mathrm{cm}. \end{gathered}$$




$$\begin{gathered} \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{PQ}\hspace{0.17em}=24\mathrm{cm}\mathrm{and}\mathrm{RS}=10\mathrm{cm} \\ D\mathrm{raw}\mathrm{a}\mathrm{line}\mathrm{segment}\mathrm{MN},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{PQ}\mathrm{and}\mathrm{RS}\mathrm{and}\mathrm{it}\mathrm{passes}\mathrm{through}\mathrm{centre}\mathrm{O}. \\ \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{perpendicular}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{centre}\mathrm{on}a\mathrm{chord}\mathrm{divides}\mathrm{the}\mathrm{chord}. \\ \therefore \mathrm{PM}\hspace{0.17em}=\mathrm{MQ}=12\mathrm{cm}\mathrm{and}\mathrm{RN}=\mathrm{NS}=5\mathrm{cm} \\ \mathrm{Now},\mathrm{in}\mathrm{right}\mathrm{triangle}\mathrm{OMQ}, \\ \mathrm{OM}=\sqrt{{\mathrm{OQ}}^2-{\mathrm{MQ}}^2} \\ =\sqrt{{13}^2-{12}^2} \\ =\sqrt{169-144} \\ =\sqrt{25} \\ =5\mathrm{cm} \\ \mathrm{Similarly}\mathrm{in}\mathrm{right}\mathrm{triangle}\mathrm{ONS}, \\ \mathrm{ON}=\sqrt{{\mathrm{OS}}^2-{\mathrm{SN}}^2} \\ =\sqrt{{13}^2-5^2} \\ =\sqrt{169-25} \\ =\sqrt{144} \\ =12\mathrm{cm} \\ \mathrm{Now},\mathrm{MN}=\mathrm{ON}+\mathrm{OM} \\ =12\mathrm{cm}+5\mathrm{cm}=17\mathrm{cm} \\ \therefore \mathrm{The}\mathrm{distance}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{chords}=17\mathrm{cm}. \end{gathered}$$