Question

In a parallelogram ABCD, AB = 10 cm, AD = 6 cm. The bisector of ∠A meets DC in E, AE and BC produced meet at F. Find te length CF.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{AE}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{A}. \\ \therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{BAE}=x \\ \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{AED}=x(\mathrm{alternate}\mathrm{angles}) \\ \mathrm{Since}\mathrm{opposite}\mathrm{angles}\mathrm{in}∆\mathrm{ADE}\mathrm{are}\mathrm{equal},∆\mathrm{ADE}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{isosceles}\mathrm{triangle}. \\ \therefore \mathrm{AD}=\mathrm{DE}=6\mathrm{cm}(\mathrm{sides}\mathrm{opposite}\mathrm{to}\mathrm{equal}\mathrm{angles}) \\ \mathrm{AB}=\mathrm{CD}=10\mathrm{cm} \\ \mathrm{CD}=\mathrm{DE}+\mathrm{EC} \\ \Rightarrow \mathrm{EC}=\mathrm{CD}-\mathrm{DE} \\ \Rightarrow \mathrm{EC}=10-6=4\mathrm{cm} \\ \angle \mathrm{DEA}=\angle \mathrm{CEF}=x(\mathrm{vertically}\mathrm{opposite}\mathrm{angle}) \\ \angle \mathrm{EAD}=\angle \mathrm{EFC}=x(\mathrm{alternate}\mathrm{angles}) \\ \mathrm{Since}\mathrm{opposite}\mathrm{angles}\mathrm{in}∆\mathrm{EFC}\mathrm{are}\mathrm{equal},∆\mathrm{EFC}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{isosceles}\mathrm{triangle}. \\ \therefore \mathrm{CF}=\mathrm{CE}=4\mathrm{cm}(\mathrm{sides}\mathrm{opposite}\mathrm{to}\mathrm{equal}\mathrm{angles}) \\ \therefore \mathrm{CF}=4\mathrm{cm} \end{gathered}$$