Question

in a quadrilateral PQRS <P:<Q:<R:<S=x:y:y:x
prove that PQRS is cyclic

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Given}\mathrm{a}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{PQRS},\angle \mathrm{P}:\angle \mathrm{Q}:\angle \mathrm{R}:\angle \mathrm{S}=\mathrm{x}:\mathrm{y}:\mathrm{y}:\mathrm{x} \\ \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{angles}\mathrm{in}360° \\ \mathrm{So},\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{y}+\mathrm{x}=360° \\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=360° \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=180° \\ \mathrm{Since}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{angles}\mathrm{is}180°,\mathrm{so}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{cyclic}\mathrm{quadrilateral}. \end{gathered}$$
Regards