Question

In a triangle ABC if TanA+TanB+TanC=6 and TanATanB=2 then the triangle is
[a] right angled [b] isosceles [c] acute angled [d] obtuse angled

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given};\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}+\mathrm{tanC}=6,\mathrm{tanAtanB}=2 \\ \mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{that} \\ \tan (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\frac{\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}}{1-\mathrm{tanAtanB}} \\ \mathrm{also}\mathrm{in}\mathrm{a}△\mathrm{ABC} \\ \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180 \\ \mathrm{A}+\mathrm{B}=180-\mathrm{C} \\ \mathrm{therefore} \\ \tan (180-\mathrm{C})=\frac{\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}}{1-\mathrm{tanAtanB}} \\ -\mathrm{tanC}=\frac{6-\mathrm{tanC}}{1-2}(\mathrm{from}\mathrm{given}\mathrm{conditions}) \\ \mathrm{tanC}=6-\mathrm{tanC} \\ \mathrm{tanC}=3 \\ \mathrm{C}\mathrm{is}\mathrm{acute} \\ \mathrm{also} \\ \mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}=3,\mathrm{tanAtnaB}=2 \\ \mathrm{therefore}\mathrm{A}\&\mathrm{B}\mathrm{are}\mathrm{simulataneously}\mathrm{positive}\mathrm{which}\mathrm{means}\mathrm{both}\mathrm{are}\mathrm{acute}(>90) \\ \mathrm{hence}\mathrm{triangle}\mathrm{is}\mathrm{acute} \end{gathered}$$