Question

In ∆ABC, ∠A = 50°, ∠B = 70° and bisector of ∠C meets AB in D. Find the angles of the triangles ADC and BDC.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{three}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{triangle}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}180°. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{given}△\mathrm{ABC},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{say}\mathrm{that}: \\ \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180°(\mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{angles}\mathrm{of}△\mathrm{ABC}) \\ \Rightarrow 50°+70°+\angle \mathrm{C}=180° \\ \angle \mathrm{C}=180°-120° \\ \angle \mathrm{C}=60° \\ \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BCD}=\frac{\angle \mathrm{C}}{2}(\mathrm{CD}\mathrm{bisects}\angle \mathrm{C}\mathrm{and}\mathrm{meets}\mathrm{AB}\hspace{0.17em}\mathrm{in}\hspace{0.17em}\mathrm{D}.) \\ \Rightarrow \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BCD}=\frac{60°}{2}=30° \\ \mathrm{Using}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{logic}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{given}△\mathrm{ACD},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{say}\mathrm{that}: \\ \angle \mathrm{DAC}+\angle \mathrm{ACD}+\angle \mathrm{ADC}=180° \\ \Rightarrow 50°+30°+\angle \mathrm{ADC}=180° \\ \angle \mathrm{ADC}=180°-80° \\ \angle \mathrm{ADC}=100° \\ \mathrm{If}\mathrm{we}\mathrm{use}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{logic}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{given}△\mathrm{BCD},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{say}\mathrm{that}: \\ \angle \mathrm{DBC}+\angle \mathrm{BCD}+\angle \mathrm{BDC}=180° \\ \Rightarrow 70°+30°+\angle \mathrm{BDC}=180° \\ \angle \mathrm{BDC}=180°-100° \\ \angle \mathrm{BDC}=80° \\ \mathrm{Thus}, \\ \mathrm{For}∆\mathrm{ADC}:\angle \mathrm{A}=50°,\angle \mathrm{D}=100°,\angle \mathrm{C}=30° \\ \mathrm{For}∆\mathrm{BDC}:\angle \mathrm{B}=70°,\angle \mathrm{D}=80°,\angle \mathrm{C}=30° \end{gathered}$$