Question

In any $△ABC$, prove that
$a(\cos C-\cos B)=2(b-c){\cos }^2\frac{A}{2}$

Answer 1

$LHS=a[\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}]$
$=a\left[\frac{a^{2}c+b^{2}c-c^3-c^{2}b-a^{2}b+b^3}{2abc}\right]$
$=\frac{(b^3-c^3)+(b^{2}c-b{c}^2)-(a^2-a^{2}c)}{2bc}$
$=\frac{(b-c)(b^2+c^2+bc)+bc(b-c)-a^2(b-c)}{2bc}$
$=(b-c)\frac{b^2+c^2+bc+bc-a^2}{2bc}$
$=(b-c)\{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{2bc}{2bc}\}$
$=(b-c)\{\cos A+1\}$
$=(b-c)2{\cos }^2\frac{A}{2}$
$=2(b-c){\cos }^2\frac{A}{2}$
$=RHS$